音楽空間の距離と五度圏②音楽空間の2つの距離の数理的補足

音楽空間の距離と五度圏②音楽空間の2つの距離の数理的補足
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前回の振り返り

このシリーズはこちら

今回は、前回の音楽空間の距離と五度圏①便利な手法と音楽的話を補足するような話だよ、特に今回は数学的な話になるので、キミの音楽理論カテゴリからは外して、ラウンジ・ラボ記事として書くよ。音楽理論を先に進めたい人は読み飛ばしても大丈夫だよ!

注:数学や論理が嫌いな人は飛ばすことを推奨するよ

前回は音楽の中には半音距離と、五度距離という2つの距離があるってことを見たね。その距離で隣に音を並べていくとそれぞれこんな図になるね。

これら以外に距離が存在しないこと、むしろ音楽空間はこの2つの距離で形成されているってことを見ていこー!

時計と音楽の数学

ここから数学的な話をするので、音楽的な話だけ見たい人は[音楽的話]音楽的調和を深堀するに進んでね。

位数12の巡回群~時計空間~

時計距離空間

この図を見てみて。時計かな?内側のグレーゾーンにはよくわからない数字…。

時計?①
図:時計?①

外側の数字は時計回りに1ずつ増えていって、内側の数字は反時計回りに11ずつ増えていってるんだけど、内側の数字を12で割った余りは外側の数字になるんだ。

左上の10のとこから見ていくと、

22=12+10
33=24+9
44=36+8
55=48+7
66=60+6
77=72+5
88=84+4
99=96+3
110=108+2
121=120+1

ってね。文字盤の時計回り方向を+1コマだとすると、反時計回りに進む=-1するってことは+11するってことと同じだね。

続いてこちらはどうだろう?もっとわけわからない数字に見える時計…

時計?②
図:時計?②

外側の数字は変な並びになってるから、内側から見てみよう。

内側の、時計周りのオレンジ矢印は7ずつ増えていく数字。7,14,21…ってね。そして反時計回りのオレンジ矢印は5ずつ増えていく数字。5,10,15…って。いずれの数字も12で割った余りは一致するんだ。その数字を外側に書いてる。

例えば右上の7のところは55=48+7で12で割った余りが7だし、左下の8のところは56=48+8と20=12+8でどちらも12で割った余りが8になるね。つまり、文字盤を反時計回りに進む=-7するってことは+5するってことと同じだ。

時計①、時計②のどちらの文字盤も、外側の数字は1~12が1回ずつ表れているね。

2種類の物差し

12か所の文字盤に1~12の全ての数字が表れているということは、逆に言うと「1~12のどの2つの数字を選んでも、その間が何マス離れているかをこの円図形で測ることができる」ってことなんだ。

ちょっと難しいかな?実際に数字の『7』と『3』の距離を測ってみよう。

時計回りに+1する時計①の場合、『3』から時計回りに4マス、または反時計回りに8マス進めば『7』に到達するから、近い方を取って距離としては4だね。

時計回りに+7する時計の場合、『3』から時計回りに8マス、または反時計回りに4マスで『7』に到着するから、近い方を取って距離4になる。

このように1から12の数字のどの2つの数字を選んでも、距離が測れるんだ。つまり、12で割った余りっていう世界において+1でも+7でも、ずっと足し続けるといつか目的の数字に到達するんだ。

距離は他にはない

この+1、+7という二つの数字の距離を測る物差しは、ほかにはないんだ。これは数学的な話で、12と互いに素(最大公約数が1となる)数字しか物差しになれないからなんだ。

例えば4という数字を足し続けて12で割った余りを文字盤に並べてみると、

048
12=0(+12)、16=4(+12)、20=8(+12)、
24=0(+24)、28=4(+24)、32=8(+24)…

ってな具合に数字は0と4と8の3種類しか出てこないから、例えば「『4』と『5』の距離」っていうのはこの物差しでは測れなくなる。『4』に何回4を足しても『5』って数字には到達しないからね。

もう一個例で、9という数字を足し続けて12で割った余りを並べると

09、18=6(+12)、27=3(+24)、
36=0(+36)、45=9(+36)、54=6(+48)、63=3(+60)、
72=0(+72)、81=9(+72)、90=6(+84)、99=3(+96)…

となって0,9,6,3の4つしか数字が出てこない。

一方で、1と5と7と11という数字は12回足してる間に12の倍数にはなることはなく、余りを見ると0~11の12個すべての数字が出現する。なので、12個の数字の間の距離を測る物差しとして妥当なんだ!

音楽空間は時計空間

12個の音からなる音楽に還元する

これと音楽に何の関係が…ってもう気づいてるキミもいるかもね?前回から話をしている五度圏がまさにこの+7の時計なんだ。

完全五度は、半音7個分。完全四度は半音5個分。つまり、五度上の音=半音+7の音=半音-5の音=四度下の音で、四度上の音=半音+5の音=半音-7の音=五度下の音って対応してるんだ。

これは若干余談だけど、音を時計回りに半音+1ずつ並べたのが半音圏でこんな感じ。

音楽には「半音」という距離と「五度」という距離しかないってことがわかったね。そして前回の話を振替しつつ還元するとこうなるよ。

旋律的距離と和声的距離の可視化

半音距離/メロディックディスタンス(旋律的距離)は、

  • 半音距離はメロディに適した距離、メロディックディスタンス(旋律的距離)
  • 半音距離が近いほどメロディは穏やか
  • 半音距離が近い=半音圏上近いところの音(可視化)

五度距離/ハーモニックディスタンス(和声的距離)は、

  • 五度距離は和音に適した距離、ハーモニックディスタンス(和声的距離)
  • 五度距離が近いほど和音は調和的
  • 五度距離が近い=五度圏上近いところの音(可視化)

という形で、円状の図形でメロディや和音、スケールの性質を可視化できそうだね。

次回はこの考えでダイアトニックの世界を改めて覗き見てみるよ!(Twitterでは見切り発車でツイートしちゃったw)

それじゃーね!

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